El juego de 2 jugadores está completo en Polynomial Space

Si elige una reducción de QSAT, su tarea comienza con una fórmula.

Necesita construir una instancia de su juego para que la negación de esta fórmula sea una tautología exactamente si el jugador 1 tiene una estrategia ganadora. El papel del jugador 2 es principalmente fijar valoraciones de variables booleanas universalmente cuantificadas; el jugador 1 tiene un papel similar con respecto a las variables booleanas existencialmente cuantificadas.

Deberá mostrar algo de ingenio al llenar la tabla para que el jugador 1 solo pueda forzar una suma cero en el caso de una tautología. Asegúrese también de que el número de filas de la tabla que necesitará sea solo lineal en el número de ocurrencias del cuantificador dentro de la fórmula.

[Comienza SPOILER 1] Recuerden que discutimos en modo tarea. Ahora agregaré casi todos los detalles a la sugerencia, pero ocultaré tres fallas técnicas en la solución que espero que encuentre una vez que comprenda los detalles. Intente encontrar tantos como pueda y proponga sus propias soluciones a tantos como pueda en un comentario.

Primer vistazo a QSAT en términos de teoría de juegos. Sin pérdida de generalidad, suponga que una oración booleana cuantificada (fórmula sin variables libres) se escribe con todos los cuantificadores al frente; primero unas pocas variables existencialmente cuantificadas, luego unas pocas universales, luego otro bloque de existencial y así sucesivamente. El primer jugador comienza a jugar asignando (sustituyendo) valores booleanos específicos a las primeras variables existencialmente cuantificadas (a todo el primer bloque, deteniéndose solo cuando la fórmula después de la sustitución comienza con el cuantificador universal más a la izquierda). Luego, el jugador 2 maneja el primer bloque de universal. Luego, el jugador 1 continúa con lo que originalmente era el segundo bloque de cuantificación existencial y así sucesivamente. El jugador 1 gana si la fórmula, después de especificar todas las variables, se evalúa como "verdadera", de lo contrario, gana el jugador 2.

Este juego QSAT también se puede jugar numéricamente si asume alguna codificación de fórmulas, de modo que cada fórmula tenga un número único basado en la sintaxis (para que uno pueda determinar de manera eficiente el número de una fórmula y también la fórmula de un número). En lugar de intercambiar fórmulas, los jugadores intercambiarán números (códigos de fórmula).

Ahora imagina que queremos convertir este juego tipo QSAT en tu juego de mesa. Cada fila representará el movimiento de un jugador (para un bloque de cuantificadores del mismo tipo). Cada ubicación en la fila representará un posible movimiento de ese jugador desde cualquier posición en la fila anterior; más específicamente, el número diferencias hecho por el movimiento: el código de la fórmula después del movimiento menos el código de la fórmula antes del movimiento. De esta forma, el total acumulado siempre es igual a la fórmula tal como está en una fase determinada del juego.

Como excepción especial, modifique todas las ubicaciones en la última fila restando aún más el código de la fórmula true. De esta forma, la suma total del juego de mesa completado será 0 si el jugador 1 ha ganado, y distinto de cero en caso contrario. Esa es la reducción deseada de la tautologicidad de la fórmula cuantificada en su juego de mesa. [Termina el SPOILER 1]